Question

2．（1）已知：正數a，b，x，y滿足a+b=10，$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$=1，且x+y的最小值為18，求a，b的值．
（2）若不等式x+2$\sqrt{2xy}$≤a（x+y）對一切正數x、y恒成立，求正數a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，結合條件，即可得出結論；
（2）不等式x+2$\sqrt{2xy}$≤a（x+y）對一切正數x、y恒成立，可得a≥$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$．換元利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）x+y=（x+y）（$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$）=a+b+$\frac{ay}{x}$+$\frac{bx}{y}$≥a+b+2$\sqrt{ab}$，
由題意a+b+2$\sqrt{ab}$=18，a+b=10，解得a=2，b=8或a=8，b=2；
（2）∵不等式x+2$\sqrt{2xy}$≤a（x+y）對一切正數x、y恒成立，∴a≥$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$．
令f（x，y）=$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$=$\frac{1+2\sqrt{2}•\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，x＞0，y＞0．
令$\sqrt{\frac{y}{x}}$=t＞0，則g（t）=$\frac{1+2\sqrt{2}t}{1+{t}^{2}}$，g′（t）=$\frac{-2（\sqrt{2}t-1）（t+\sqrt{2}）}{（1+{t}^{2}）^{2}}$，
令g′（t）=0，解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可知當t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，g（t）取得極大值即最大值2．
∴a≥2．
故a的最小值為2．

點評 本題考查了基本不等式的運用，考查恒成立問題的等價轉化、利用導數研究函數的單調性極值與最值等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．