Question

14．已知函數f（x）=2^x+a，g（x）=$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$+2．
（1）求函數g（x）的值域；
（2）若a=0，求滿足方程f（x）-g（x）=0的x的值．
（3）?x₀∈[1，2]，f（x）+g（x）≥0成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）由2^|x|≥1，可得$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$∈（0，1]，進而得到函數g（x）的值域；
（2）若a=0，則方程f（x）-g（x）=0可化為：2^x=$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$+2，解得答案；
（3）若?x₀∈[1，2]，f（x）+g（x）≥0成立，則f（x）+g（x）的最大值不小于0，進而可得a的范圍．

解答 解：（1）∵2^|x|≥1，
∴$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$∈（0，1]，
∴g（x）=$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$+2∈（2，3]，
故函數g（x）=$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$+2的值域為（2，3]；
（2）若a=0，則方程f（x）-g（x）=0可化為：2^x=$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$+2，
由（1）得：方程的根在區間（1，log₂3]上，
故方程可化為：2^x=$\frac{1}{{2}^{x}}$+2，即：（2^x）²-2$\overline{•}$2^x-1=0，
解得：2^x=$\sqrt{2}$+1，
x=${log}_{2}（\sqrt{2}+1）$；
（3）令F（x）=f（x）+g（x）=2^x+a+$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$+2．
當x∈[1，2]時，F（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$+a+2；
由對勾函數的圖象和性質可得：當x=2時，F（x）取最大值a+$\frac{25}{4}$，
若?x₀∈[1，2]，f（x）+g（x）≥0成立，
則a+$\frac{25}{4}$≥0，
即a≥-$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查的知識點是函數的最值，函數的值域，方程的根與函數的零點，難度中檔．