Question

6．設變量X，Y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-y≥0}\\{2x-y-1≤0}\end{array}\right.$，且目標函數Z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（1，b為正數）的最大值為1，則a+2b的最小值為（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 畫出滿足條件的平面區域，求出角點的坐標，結合圖象得到a，b的方程，根據基本不等式的性質求出a+2b的最小值即可．

解答 解：畫出滿足條件的平面區域，如圖示：

由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1），
由目標函數Z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（a，b為正數）得：y=-$\frac{b}{a}$x+bz，-$\frac{b}{a}$＜0
平移直線y=-$\frac{b}{a}$x+bz，結合圖象直線過A（1，1）時，
z最大，故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
∴（a+2b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當且僅當a=$\sqrt{2}$b，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1時“=”成立，
故選：D．

點評 本題考查了簡單的線性規劃問題，考查數形結合思想，是一道中檔題．