Question

11．已知直線l在x軸和y軸上的截距相等，且與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 當直線過原點時斜率存在，設方程為y=kx，當直線不過原點時，設直線的方程為y=a-x，分別聯立方程由△=0可得．

解答 解：當直線過原點時斜率存在，設方程為y=kx，
聯立直線與圓的方程，消去y可得（k²+1）x²-（4+6k）x+12=0，
由相切可得△=（4+6k）²-48（k²+1）=0，解得k=2±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴所求直線的方程為y=（2±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）x，即$y=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}x或y=\frac{6-2\sqrt{3}}{3}x$；
當直線不過原點時，設直線的方程為y=a-x，
聯立直線與圓的方程消去y可得2x²-（-1-a）x+a²-6a+11=0，
由相切可得△=（-1-a）²-8（a²-6a+11）=0，解得a=5$±\sqrt{2}$，
∴所求直線的方程為$x+y-5+\sqrt{2}=0$或$x+y-5-\sqrt{2}=0$．
綜上可得所求直線的方程為$y=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}x或y=\frac{6-2\sqrt{3}}{3}x$或$x+y-5+\sqrt{2}=0$或$x+y-5-\sqrt{2}=0$

點評 本題考查直線與圓的相切關系，涉及分類討論的思想和一元二次方程的根與判別式的關系，屬中檔題．