Question

20．如圖，某小區準備將一塊閑置的直角三角形（其中∠B=$\frac{π}{2}$，AB=a，BV=$\sqrt{3}$a）土地開發成公共綠地，設計時，要求綠地部分（圖中陰影部分）有公共綠地走道MN，且兩邊是兩個關于走道MN對稱的三角形（△AMN和△A′MN），現考慮方便和綠地最大化原則，要求M點與B點不重合，A′點落在邊BC上，設∠AMN=θ．
（1）若θ=$\frac{π}{3}$，綠地“最美”，求最美綠地的面積；
（2）為方便小區居民行走，設計時要求AN，A′N最短，求此時公共綠地走道MN的長度．

Answer 1

分析 由∠B=$\frac{π}{2}$，AB=a，BV=$\sqrt{3}$a，得∠BAC=$\frac{π}{3}$，設MA=MA′=xa（0＜x＜1），則MB=a-xa，所以在Rt△MBA′中，cos（π-2θ）=$\frac{a-xa}{xa}$=$\frac{1-x}{x}$；
（1）因為θ=$\frac{π}{3}$，所以cos（π-2θ）=$\frac{1-x}{x}$=$\frac{1}{2}$，解得x值，可得△AMN為等邊三角形，進而得到最美綠地的面積；
（2）根據（1）中結論，可得AN=$\frac{a}{\frac{1}{2}+sin（2θ-\frac{π}{6}）}$，根據三角函數的圖象和性質，可得θ=$\frac{π}{3}$時，AN最短，且AN=$\frac{2}{3}a$，進而得到答案．

解答 解：由∠B=$\frac{π}{2}$，AB=a，BV=$\sqrt{3}$a，得∠BAC=$\frac{π}{3}$…（1分）
設MA=MA′=xa（0＜x＜1），則MB=a-xa，
所以在Rt△MBA′中，cos（π-2θ）=$\frac{a-xa}{xa}$=$\frac{1-x}{x}$…（3分）
（1）因為θ=$\frac{π}{3}$，所以cos（π-2θ）=$\frac{1-x}{x}$=$\frac{1}{2}$，所以x=$\frac{2}{3}$，
又∠BAC=$\frac{π}{3}$，所以△AMN為等邊三角形，所以綠地的面積S=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$a×$\frac{2}{3}$a×sin$\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}{a}^{2}$…（5分）
（2）因為cos（π-2θ）═-cos2θ=2sin²θ-1=$\frac{1-x}{x}$，
所以x=$\frac{1}{2{sin}^{2}θ}$，則AM=$\frac{a}{2{sin}^{2}θ}$…（7分）
又∠BAC=$\frac{π}{3}$，所以在△AMN中，∠ANM=$\frac{2π}{3}-θ$，故$\frac{AN}{sinθ}=\frac{AM}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，
所以AN=$\frac{a}{2{sin}^{2}θ}$×$\frac{sinθ}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$=$\frac{a}{2sinθ•sin（\frac{2π}{3}-θ）}$=$\frac{a}{\frac{1}{2}+sin（2θ-\frac{π}{6}）}$…（11分）
又$\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{3}＜2θ-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
所以當$2θ-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$時，AN最短，且AN=$\frac{2}{3}a$，
此時公共綠地走道MN=$\frac{2}{3}a$…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數的應用，函數的最值，熟練掌握三角函數的圖象和性質，是解答的關鍵．