Question

18．已知曲線y=x²-lnx在點（1，1）處的切線與曲線y=ax²+（a+2）x+1也相切，則a=1．

Answer 1

分析 求得函數y=x²-lnx的導數，可得切線的斜率和方程，聯立拋物線方程，運用相切的條件：判別式為0，解得a的值．

解答 解：y=x²-lnx的導數為y′=2x-$\frac{1}{x}$，
可得函數在點（1，1）處的切線斜率為2-1=1，
可得在點（1，1）處的切線方程為y-1=x-1，
即y=x．
代入y=ax²+（a+2）x+1，可得ax²+（a+1）x+1=0，
由相切可得判別式為0，
即（a+1）2-4a=0，解得a=1．
故答案為：1．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，直線和拋物線相切的條件：判別式為0，考查運算能力，屬于中檔題．