Question

10．數列{a_n}滿足：①a_n＜0；②a₂•a₁₁=$\frac{8}{27}$；③2a_n²-a_na_n+1-3a_n+1²=0．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設T_n=|a₁•a₂•a₃…a_n|，問：是否存在常數k∈N₊，使得T_n≤T_k對于任意n∈N₊恒成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將2a_n²-a_na_n+1-3a_n+1²=0，化簡為（3a_n+1-2a_n）（a_n-a_n+1）=0，又a_n＜0，得出2a_n=3a_n+1，數列{a_n}是公比為$\frac{2}{3}$的等比數列．
（2）根據（1）中得到的通項公式可以推知${T_n}={（{\frac{2}{3}}）^{\frac{{n（{n-9}）}}{2}}}$，結合指數函數的單調性進行解答即可．

解答 解：（1）∵2a_n²-a_na_n+1-3a_n+1²=0，
∴（3a_n+1-2a_n）（a_n-a_n+1）=0，
∴3a_n+1=2a_n或a_n=a_n+1，
∵a_n＜0，
∴3a_n+1=2a_n，即${a_{n+1}}=\frac{2}{3}{a_n}$，
∴公比q=$\frac{2}{3}$，
∵a₂•a₁₁=$\frac{8}{27}$，
∴a₁²•q¹¹=$\frac{8}{27}$，
則a₁=-（$\frac{2}{3}$）^-4
∴數列{a_n}是公比為$\frac{2}{3}$，首項為-（$\frac{2}{3}$）^-4的等比數列；
∴${a_n}=-{（{\frac{2}{3}}）^{n-5}}$；
（2）${T_n}=|{{a_1}•{a_2}•{a_3}…{a_n}}|={（{\frac{2}{3}}）^{\frac{{n[{-4+（{n-5}）}]}}{2}}}={（{\frac{2}{3}}）^{\frac{{n（{n-9}）}}{2}}}$，
當n=4或5時，${S_n}=\frac{1}{2}n（{n-9}）$取最小值，
又函數$y={（{\frac{2}{3}}）^x}$單調遞減，
∴T_n≤T₄=T₅．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、數列的遞推式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．