Question

2．若數(shù)列{a_n}中的項都滿足a_2n-1=a_2n＜a_2n+1（n∈N^*），則稱{a_n}為“階梯數(shù)列”．
（1）設(shè)數(shù)列{b_n}是“階梯數(shù)列”，且b₁=1，b_2n+1=9b_2n-1（n∈N^*），求b₂₀₁₆；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}是“階梯數(shù)列”，其前n項和為S_n，求證：{S_n}中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列，但不存在連續(xù)四項成等差數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{d_n}是“階梯數(shù)列”，且d₁=1，d_2n+1=d_2n-1+2（n∈N^*），記數(shù)列{$\frac{1}{p9vv5xb5_{n}p9vv5xb5_{n+2}}$}的前n項和為T_n，問是否存在實數(shù)t，使得（t-T_n）（t+$\frac{1}{{T}_{n}}$）＜0對任意的n∈N^*恒成立？若存在，請求出實數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{b_n}是“階梯數(shù)列”，且b₁=1，b_2n+1=9b_2n-1（n∈N^*），b₂₀₁₆=b₂₀₁₅，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由數(shù)列{c_n}是“階梯數(shù)列”，可得c_2n-1=c_2n．即可得出S_2n-1-S_2n-2=S_2n-S_2n-1，即可證明{S_n}中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列．假設(shè){S_n}中存在連續(xù)四項成等差數(shù)．S_n+1-S_n=S_n+2-S_n+1=S_n+3-S_n+2，可得a_n+1=a_n+2=a_n+3，得出矛盾．
（3）設(shè)數(shù)列{d_n}是“階梯數(shù)列”，且d₁=1，d_2n+1=d_2n-1+2（n∈N^*），利用等差數(shù)列的通項公式可得：d_2n-1=2n-1=d_2n．$\frac{1}{p9vv5xb5_{2n}p9vv5xb5_{2n+1}}$=$\frac{1}{p9vv5xb5_{2n-1}p9vv5xb5_{2n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．n=2k（k∈N^*）時，T_n=T_2k=$（\frac{1}{p9vv5xb5_{1}p9vv5xb5_{3}}+\frac{1}{p9vv5xb5_{2}p9vv5xb5_{4}}）$+$（\frac{1}{p9vv5xb5_{3}p9vv5xb5_{5}}+\frac{1}{p9vv5xb5_{4}p9vv5xb5_{6}}）$+…+$（\frac{1}{p9vv5xb5_{2k-1}p9vv5xb5_{2k+1}}+\frac{1}{p9vv5xb5_{2k}p9vv5xb5_{2k+2}}）$=2$（\frac{1}{p9vv5xb5_{1}p9vv5xb5_{3}}+\frac{1}{p9vv5xb5_{3}p9vv5xb5_{5}}+…\frac{1}{p9vv5xb5_{2k-1}p9vv5xb5_{2k+1}}）$，利用“裂項求和”及其數(shù)列的單調(diào)性可得T_n∈$[\frac{2}{3}，1）$，由（t-T_n）（t+$\frac{1}{{T}_{n}}$）＜0，可得$-\frac{1}{{T}_{n}}$＜t＜T_n．n=2k-1（k∈N^*）時，T_n=T_2k-$\frac{1}{p9vv5xb5_{2k}p9vv5xb5_{2k+2}}$=T_2k-$\frac{1}{p9vv5xb5_{2k-1}p9vv5xb5_{2k+1}}$，同理可得．

解答 （1）解：設(shè)數(shù)列{b_n}是“階梯數(shù)列”，且b₁=1，b_2n+1=9b_2n-1（n∈N^*），
∴數(shù)列{b_2n-1}是等比數(shù)列，首項為1，公比為9．
∴b₂₀₁₆=b₂₀₁₅=b_2×1008-1=1×9^1008-1=9¹⁰⁰⁷=3²⁰¹⁴．
（2）證明：∵數(shù)列{c_n}是“階梯數(shù)列”，∴c_2n-1=c_2n．
∴S_2n-1-S_2n-2=S_2n-S_2n-1，因此{S_n}中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列．
假設(shè){S_n}中存在連續(xù)四項成等差數(shù)．∴S_n+1-S_n=S_n+2-S_n+1=S_n+3-S_n+2，
∴a_n+1=a_n+2=a_n+3，
n=2k-1時，a_2k=a_2k+1=a_2k+2，與數(shù)列{c_n}是“階梯數(shù)列”矛盾；
同理n=2k時，也得出矛盾．
（3）解：設(shè)數(shù)列{d_n}是“階梯數(shù)列”，且d₁=1，d_2n+1=d_2n-1+2（n∈N^*），
∴數(shù)列{d_2n-1}是等差數(shù)列，公差為2，首項為1．
∴d_2n-1=1+2（n-1）=2n-1=d_2n．
$\frac{1}{p9vv5xb5_{2n}p9vv5xb5_{2n+1}}$=$\frac{1}{p9vv5xb5_{2n-1}p9vv5xb5_{2n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
n=2k（k∈N^*）時，T_n=T_2k=$（\frac{1}{p9vv5xb5_{1}p9vv5xb5_{3}}+\frac{1}{p9vv5xb5_{2}p9vv5xb5_{4}}）$+$（\frac{1}{p9vv5xb5_{3}p9vv5xb5_{5}}+\frac{1}{p9vv5xb5_{4}p9vv5xb5_{6}}）$+…+$（\frac{1}{p9vv5xb5_{2k-1}p9vv5xb5_{2k+1}}+\frac{1}{p9vv5xb5_{2k}p9vv5xb5_{2k+2}}）$
=2$（\frac{1}{p9vv5xb5_{1}p9vv5xb5_{3}}+\frac{1}{p9vv5xb5_{3}p9vv5xb5_{5}}+…\frac{1}{p9vv5xb5_{2k-1}p9vv5xb5_{2k+1}}）$
=2×$\frac{1}{2}$×$（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}）$
=1-$\frac{1}{2k+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴T_n∈$[\frac{2}{3}，1）$，$-\frac{1}{{T}_{n}}$∈$[-\frac{3}{2}，-1）$．
∴（t-T_n）（t+$\frac{1}{{T}_{n}}$）＜0，
∴$-\frac{1}{{T}_{n}}$＜t＜T_n，解得-1≤t$＜\frac{2}{3}$．①
n=2k-1（k∈N^*）時，T_n=T_2k-$\frac{1}{p9vv5xb5_{2k}p9vv5xb5_{2k+2}}$=T_2k-$\frac{1}{p9vv5xb5_{2k-1}p9vv5xb5_{2k+1}}$
=1-$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2}$（12k-1-12k+1）=1-$\frac{1}{2}（\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k+1}）$∈$[\frac{1}{3}，1）$，
∴$-\frac{1}{{T}_{n}}$∈[-3，-1）．
∴（t-T_n）（t+$\frac{1}{{T}_{n}}$）＜0，
∴$-\frac{1}{{T}_{n}}$＜t＜T_n，∴-1≤t$＜\frac{1}{3}$．②．
由①②可得：實數(shù)t的取值范圍是-1≤t$＜\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了新定義、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式及其性質(zhì)、“裂項求和方法”、不等式的解法，考查了反證法、分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．