Question

12．設ω∈N^*且ω≤15，則使函數y=sinωx在區間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不單調的ω的個數是（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 使函數y=sinωx在區間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不單調，只需對稱軸在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]即可．

解答 解：根據正弦函數圖象及性質：
對稱軸方程為ωx=$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z）．
解得：x=$\frac{π}{2ω}$+$\frac{kπ}{ω}$，（k∈Z）．
∵函數y=sinωx在區間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不單調，
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2ω}$+$\frac{kπ}{ω}$＜$\frac{π}{3}$，（k∈Z），
解得：1.5+3k＜ω＜2+4k，（k∈Z）．
由題意：ω∈N^*且ω≤15，
當k=0時，1.5＜ω＜2，此時ω沒有正整數可取；
當k=1時，4.5＜ω＜6，此時ω可以取：5；
當k=2時，7.5＜ω＜10，此時ω可以取：8，9；
當k=3時，10.5＜ω＜14，此時ω可以取：11，12，13；
當k=4時，13.5＜ω＜18，此時ω可以取：14，15；
∴ω∈N^*且ω≤15，y=sinωx在區間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不單調時，ω可以4個數，
即5，8，9，11，12，13；14，15．
故選：C．

點評 本題考查了正弦函數圖象及性質的靈活運用，也考查了分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．