Question

7．已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如表，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示，下列關于函數f（x）的命題：

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

（1）函數y=f（x）是周期函數；
（2）函數f（x）在（0，2）上是減函數；
（3）如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
（4）當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點．
其中真命題的個數有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 先由導函數的圖象和原函數的關系畫出原函數的大致圖象，再借助與圖象和導函數的圖象，對四個命題，一一進行驗證，對于假命題采用舉反例的方法進行排除即可得到答案．

解答 解：函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如表，
f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示：
由導函數的圖象和原函數的關系得，原函數的大致圖象如圖：
由圖得：∵函數的定義域為閉區間，而周期函數的定義域一定是無界的，
故①為假命題；
②為真命題．因為在[0，2]上導函數為負，故原函數遞減；
由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數據可得當x=0或x=4時，
函數取最大值2，
若x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即③錯誤；
∵函數f（x）在定義域為[-1，5]共有兩個單調增區間，兩個單調減區間，
故函數y=f（x）-a的零點個數可能為0、1、2、3、4個，即④錯誤，
故選：A．

點評 本題主要考查導函數和原函數的單調性之間的關系．二者之間的關系是：導函數為正，原函數遞增；導函數為負，原函數遞減，屬于中檔題．