Question

17．已知函數f（x）=2x²-4x+a，g（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（1）若函數f（x）在[-1，3m]上不具有單調性，求實數m的取值范圍；
（2）若f（1）=g（1）
①求實數a的值；
②設t₁=$\frac{1}{2}$f（x），t₂=g（x），t₃=2^x，當x∈（0，1）時，試比較t₁，t₂，t₃的大小．

Answer 1

分析 （1）函數f（x）在（-∞，1]上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增，因為函數f（x）在[-1，3m]上不單調，以3m＞1，解得實數m的取值范圍；
（2）①因為f（1）=g（1），所以-2+a=0，解得實數a的值；
②設t₁=$\frac{1}{2}$f（x），t₂=g（x），t₃=2^x，當x∈（0，1）時，求出三個函數的值域，可得答案．

解答 解：（1）因為拋物線y=2x²-4x+a開口向上，對稱軸為x=1，
所以函數f（x）在（-∞，1]上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增，
因為函數f（x）在[-1，3m]上不單調，
所以3m＞1，…（2分）
得$m＞\frac{1}{3}$，…（3分）
（2）①因為f（1）=g（1），所以-2+a=0，…（4分）
所以實數a的值為2．…（5分）
②因為t₁=$\frac{1}{2}$f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
t₂=g（x）=log₂x，
t₃=2^x，
所以當x∈（0，1）時，t₁∈（0，1），…（7分）
t₂∈（-∞，0），…（9分）
t₃∈（1，2），…（11分）
所以t₂＜t₁＜t₃．…（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．