Question

9．設函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x²+（8-a）x-5-a，若存在唯一的正整數x₀，使得f（x₀）＜0，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（{\frac{1}{15}，\frac{1}{6}}]$
• B． $（{\frac{1}{15}，\frac{1}{4}}]$
• C． $（{\frac{1}{6}，\frac{1}{4}}]$
• D． $（{\frac{1}{4}，\frac{5}{18}}]$

Answer 1

分析 設g（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x²+8x-5，h（x）=a（x+1），在同一個坐標系中畫出它們的圖象，結合圖象找出滿足條件的不等式組解之即可．

解答 解：設g（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x²+8x-5，h（x）=a（x+1），
g'（x）=x²-6x+8=（x-2）（x-4），所以x＞4或者x＜2時函數遞增，2＜x＜4時遞減，并且g（1）=$\frac{1}{3}$，g（2）=$\frac{5}{3}$，g（3）=1，g（4）=$\frac{1}{3}$，圖象如圖，函數h（x）經過（-1，0），要使存在唯一的正整數x₀，使得f（x₀）＜0，即g（x）＜h（x）有唯一正整數解，所以
只要a＞0并且$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥h（1）}\\{g（2）≥h（2）}\\{g（3）≥h（3）}\\{g（4）＜h（4）}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{2a≤\frac{1}{3}}\\{3a≤\frac{5}{3}}\\{4a≤1}\\{5a＞\frac{1}{3}}\end{array}\right.$解得$\frac{1}{15}＜a≤\frac{1}{6}$；
故選：A．

點評 本題考查了函數圖象的運用，關鍵是將滿足不等式的條件轉化為兩個函數圖象的位置關系，結合圖象得到不等式組解之；屬于難題．