Question

4．已知A是單位圓O上的一個動點，且點A在第一象限．B是圓O與x軸正半軸的交點，記∠AOB=α，若點A在直線4x-3y=0上，求$\frac{si{n}^{2}（α-π）+sin（\frac{3π}{2}+α）}{co{s}^{2}（\frac{5π}{2}+α）+cos（-\frac{3π}{2}+α）}$的值．

Answer 1

分析 根據題意求得tanα=$\frac{4}{3}$，結合誘導公式對$\frac{si{n}^{2}（α-π）+sin（\frac{3π}{2}+α）}{co{s}^{2}（\frac{5π}{2}+α）+cos（-\frac{3π}{2}+α）}$進行化簡，代入求值．

解答 解：∵直線4x-3y=0的斜率為$\frac{4}{3}$，
∴tanα=$\frac{4}{3}$，
∴點A在第一象限．B是圓O與x軸正半軸的交點，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{si{n}^{2}（α-π）+sin（\frac{3π}{2}+α）}{co{s}^{2}（\frac{5π}{2}+α）+cos（-\frac{3π}{2}+α）}$=$\frac{si{n}^{2}α-cosα}{si{n}^{2}α-sinα}$=$\frac{（\frac{4}{5}）^{2}-\frac{3}{5}}{（\frac{4}{5}）^{2}-\frac{4}{5}}$=-$\frac{7}{4}$．

點評 本題主要考察了同角三角函數關系式，屬于基本知識的考查．