Question

15．已知F是拋物線C：y²=8x的焦點，直線y=kx-3k與C交于M，N兩點，與C的準線相交于點P，|$\overrightarrow{MF}$|=4，且$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MN}$（λ∈R），則λ=（　　）

• A． $\frac{8}{5}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{7}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 設M點坐標為：M（x₀，y₀），y₀＞0，由拋物線的性質可知：x₀+p=x₀+2=4，即可求得x₀=2，求得M點坐標，代入直線方程，即可求的k，求得直線MN方程，代入拋物線方程，求得N點坐標，將x=-2時，y=20，求得P點坐標，由$\overrightarrow{PM}$=（4，-16），$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{5}{2}$，-10），由$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MN}$（λ∈R），即4=λ•$\frac{5}{2}$，可求得λ的值．

解答 解：拋物線C：y²=8x的焦點，焦點F（2，0），準線方程：x=-2，
設M點坐標為：M（x₀，y₀），y₀＞0，
由|$\overrightarrow{MF}$|=4，則x₀+p=x₀+2=4，解得：x₀=2，
∴y₀=$\sqrt{8{x}_{0}}$=4，
∴M（2，4），
由M在直線y=kx-3k，代入則4=2k-3k，解得：k=-4，
∴直線MN：y=-4（x-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-4（x-3）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，整理得：y²+2y-24=0，解得：y=-6或y=4（舍去），
當y=-6，解得：x=$\frac{9}{2}$，
∴N（$\frac{9}{2}$，-6），
由直線MN：y=-4（x-3），與C的準線相交于點P，即當x=-2時，解得：y=20，
∴P（-2，20），
則$\overrightarrow{PM}$=（4，-16），$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{5}{2}$，-10），
由$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MN}$（λ∈R），
∴4=λ•$\frac{5}{2}$，解得：λ=$\frac{8}{5}$，
故選A．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的性質，向量的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．