Question

2．求下列情況下的概率．
（1）若a、b是一枚骰子擲兩次所得到的點數，求使得方程x²+ax+b²=0有實根的概率；
（2）在區間[0，1]內隨機取兩個數，分別記為a，b，求使得方程x²+ax+b²=0有實根的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的所有事件根據分步計數原理知是36，滿足條件的事件：方程無實根，則△=a²-4b²≥0即a≥2b，通過列舉法得到所包含的基本事件個數，利用古典概型的概率公式求出值；
（2）試驗發生包含的事件是在區間[0，1]上任取兩個數a和b，寫出事件對應的集合，做出面積，滿足條件的事件是關于x的方程x²+ax+b²=0有實數根，根據二次方程的判別式寫出a，b要滿足的條件，寫出對應的集合，做出面積，得到概率．

解答 解：（1）基本事件總數為：6×6=36
若方程有實根，則△=a²-4b²≥0即a≥2b，
若a=2，則b=1；若a=3，則b=1；若a=4，則b=1，2，
若a=5，則b=1，2[若a=6，則b=1，2，3；
∴目標事件個數為9，
因此方程x²+ax+b²=0有實根的概率為$\frac{9}{36}$=$\frac{1}{4}$；
（2）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
∵試驗發生包含的事件是在區間[0，1]上任取兩個數a和b，
事件對應的集合是Ω={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1}
對應的面積是s_Ω=1
滿足條件的事件是關于x的方程x²+2ax+b²=0有實數根，
即a²-4b²≥0，
∴a≥2b，
事件對應的集合是A={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1，a≥2b}
對應的圖形的面積是s_A=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{4}$，
∴根據等可能事件的概率得到P=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查古典概型、幾何概型，古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．