Question

3．已知函數f（x）=$|\begin{array}{l}{{e}^{x}-1}&{-2}\\{1}&{{e}^{x}+2}\end{array}|$，其中$|\begin{array}{l}{x-3}&{-1}\\{2}&{4-x}\end{array}|$≥0，則函數f（x）的值域為[e⁴+e²，e¹⁰+e⁵]．

Answer 1

分析 根據行列式運算可得：f（x）=（e^x）²+e^x，x∈[2，5]；利用換元法與二次函數單調性可求出f（x）值域范圍．

解答 解：根據行列式運算：f（x）=$|\begin{array}{l}{{e}^{x}-1}&{-2}\\{1}&{{e}^{x}+2}\end{array}|$=（e^x）²+e^x；
$|\begin{array}{l}{x-3}&{-1}\\{2}&{4-x}\end{array}|$=-x²+7x-10≥0 可解得：x∈[2，5]；
令t=e^x∈[e²，e⁵]；
則 g（t）=t²+t；
函數g（t） 開口朝上，對稱軸為：t=$-\frac{1}{2}$，則可知函數g（t）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上函數單調遞增；
故g（t）_min=e⁴+e²，g（t）_max=e¹⁰+e⁵；
故答案為：[e⁴+e²，e¹⁰+e⁵]

點評 本題主要考查了行列式基礎運算，以及換元法與二次函數性質，屬基礎題．