Question

6．在平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，沿△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，且2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=4，則三棱錐A-BCD的外接球的半徑為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由已知中$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，由平面ABD⊥平面BDC，可得三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC，進而根據2|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=4，求出三棱錐A-BCD的外接球的半徑．

解答 解：平行四邊形ABCD中，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
∴AB⊥BD，
沿BD折成直二面角A-BD-C，
∵平面ABD⊥平面BDC
三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC，
∴AC²=AB²+BD²+CD²=2AB²+BD²=4
∴外接球的半徑為1，
故選：A．

點評 本題將平行四邊折疊，求折成三棱錐的外接球表面積，著重考查了面面垂直的性質、球表面積公式和球內接多面體的性質等知識，屬于中檔題．