Question

5．有以下四個命題：
①函數y=sin²x+$\frac{3}{si{n}^{2}x}$的最小值是2$\sqrt{3}$；
②已知f（x）=$\frac{x-\sqrt{11}}{x-\sqrt{10}}$，則f（4）＜f（3）；
③定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），則f（2016）=0；
④y=log_a（2+a^x）（a＞0，a≠1）在R上是增函數．
其中真命題的序號是②③④．

Answer 1

分析 于①，∵sin²x=$\frac{3}{si{n}^{2}x}$時，sin²x=3不可能，不滿足均值不等式的條件；
②，f（x）=$\frac{x-\sqrt{11}}{x-\sqrt{10}}$=1+$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{11}}{x-\sqrt{10}}$，則f（4）＜1，f（3）＞1；
③，定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x）⇒T=2；
④，當0＜a＜1時，y=log_ax 與y=a^x都是減函數，當a＞1時，y=log_ax 與y=a^x都是增函數，根據復合函數單調性的判定，y=log_a（2+a^x）（a＞0，a≠1）在R上是增函數．

解答 解：對于①，∵sin²x=$\frac{3}{si{n}^{2}x}$時，sin²x=3不可能，不滿足均值不等式的條件，故錯；
對于②，f（x）=$\frac{x-\sqrt{11}}{x-\sqrt{10}}$=1+$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{11}}{x-\sqrt{10}}$，則f（4）＜1，f（3）＞1，故正確；
對于③，定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x）⇒T=2，則f（2016）=f（0）=0，故正確；
對于④，當0＜a＜1時，y=log_ax 與y=a^x都是減函數，當a＞1時，y=log_ax 與y=a^x都是增函數，根據復合函數單調性的判定，y=log_a（2+a^x）（a＞0，a≠1）在R上是增函數，故正確．
故答案為：②③④．

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到函數、不等式基礎知識，屬于中檔題．