Question

10．函數f（x）=a$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$（a∈R）．
（Ⅰ）設t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數φ（t）；
（Ⅱ）記f（x）的最大值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，進而得φ（t）的解析式．
（Ⅱ）由題意知g（a）即為函數φ（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]的最大值，分a＞0、a=0、a＜0三種情況利用函數的單調性求出函數f（x）的最大值為g（a）；

解答 解：（Ⅰ）∵t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，∴要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵t²=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$∈[2.4]且t≥0…①，∴t的取值范圍是[$\sqrt{2}$，2]．
由①得：$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$t²-1，
∴φ（t）=a（$\frac{1}{2}$t²-1）+t=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]
（Ⅱ）由題意知φ（t）即為函數φ（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]的最大值，
∵直線t=-$\frac{1}{a}$是拋物線φ（t）的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
 ①當當a＞0時，函數y=φ（t），t∈[$\sqrt{2}$，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由t=-$\frac{1}{a}$＜0知φ（t）在t∈[$\sqrt{2}，2$]上單調遞增，故g（a）=φ（2）=a+2；
 ②當a=0時，知φ（t）=t，t∈[$\sqrt{2}，2$]上，有g（a）=22；
 ③當a＜0時，函數y=φ（t），t∈[$\sqrt{2}$，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若t=-$\frac{1}{a}$∈（0，$\sqrt{2}$]即a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，g（a）=φ（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$，
若t=-$\frac{1}{a}$∈（$\sqrt{2}$，2]即a∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{1}{2}$]時，g（a）=φ（-$\frac{1}{a}$）=-a-$\frac{1}{2a}$，
若t=-$\frac{1}{a}$∈（2，+∞）即a∈（-$\frac{1}{2}$，0）時，g（a）=φ（2）=a+2．
綜上所述，有g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a+2，a＞-\frac{1}{2}}\\{-a-\frac{1}{2a}，-\frac{\sqrt{2}}{2}＜a≤-\frac{1}{2}}\\{\sqrt{2}，a≤-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$

點評 本題主要考查二次函數在閉區間上的最值的求法，函數解析式求解的方法，體現了分類討論的數學思想．