Question

12．某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名維修工人進行維修，每臺機器出現故障需要維修的概率為$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）若出現故障的機器臺數為x，求x的分布列；
（Ⅱ）該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不少于90%？
（Ⅲ）已知一名維修工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位維修工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修，就使該廠產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤，若該廠現有2名維修工人，求該廠每月獲利的均值．

Answer 1

分析 （I）利用二項分布列的性質與計算公式即可得出．
（Ⅱ）設該廠有n名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現故障及時進行維修”為x≤n，即x=0，x=1，…，x=n，這n+1個互斥事件的和事件，利用（I）的分布列即可得出．
（Ⅲ）設該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為：18，13，8，利用（I）的分布列及其互斥事件的概率計算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）一臺機器運行是否出現故障可看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現故障設為A，則事件A的概率為$\frac{1}{3}$，該廠有4臺機器就相當于4次獨立重復試驗，因出現故障的機器臺數為X，
故X～B$（4，\frac{1}{3}）$，$P（X=0）=C_4^0{（\frac{2}{3}）^4}=\frac{16}{81}$，$P（X=1）=C_4^0•\frac{1}{3}•{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{32}{81}$，$P（X=2）=C_4^0•{（\frac{1}{3}）^2}•{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{24}{81}$，$P（X=3）=C_4^0•{（\frac{1}{3}）^3}•\frac{2}{3}=\frac{8}{81}$，$P（X=4）=\frac{1}{81}$．
即X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

（Ⅱ）設該廠有n名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現故障及時進行維修”為x≤n，即x=0，x=1，…，x=n，這n+1個互斥事件的和事件，
則

n	0	1	2	3	4
P（x≤n）	$\frac{16}{81}$	$\frac{48}{81}$	$\frac{72}{81}$	$\frac{80}{81}$	1

∵$\frac{72}{81}≤90%≤\frac{80}{81}$，
∴至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障能及時進行維修的概率不少于90%．
（Ⅲ）設該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為：18，13，8，$P（Y=18）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=\frac{72}{81}$，$P（Y=13）=P（X=3）=\frac{8}{81}$，$P（Y=8）=P（X=4）=\frac{1}{81}$，
即Y的分布列為：

Y	18	13	8
P	$\frac{72}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

則$E（Y）=18×\frac{72}{81}+13×\frac{8}{81}+8×\frac{1}{81}=\frac{1408}{81}$，
故該廠獲利的均值為$\frac{1408}{81}$．

點評 本題考查了二項分布列的概率計算公式及其數學期望、互斥事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．