Question

7．已知函數$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0≤ϕ≤\frac{π}{2}）$的圖象過點$M（0，\frac{1}{2}）$，最小正周期為$\frac{2π}{3}$，且最小值為-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區間$[\frac{π}{18}，\frac{5π}{9}]$上的單調區間．

Answer 1

分析 （1）先根據最值確定A，再根據周期確定ω，最后根據M點坐標計算φ；
（2）求出f（x）的單調區間，與所給區間取交集即可得出單調區間．

解答 解：（1）∵f（x）的最小值為-1，且A＞0，∴A=1，
∵f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，ω＞0，∴$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，即ω=3．
∵f（x）的圖象過點M（0，$\frac{1}{2}$），∴sinφ=$\frac{1}{2}$，
又0≤φ≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的解析式為：f（x）=sin（3x+$\frac{π}{6}$）．
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{2π}{9}$+$\frac{2kπ}{3}$≤x≤$\frac{π}{9}$+$\frac{2kπ}{3}$，k∈Z．
[-$\frac{2π}{9}$+$\frac{2kπ}{3}$，$\frac{π}{9}$+$\frac{2kπ}{3}$]∩[$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{9}$]=[$\frac{π}{18}$，$\frac{π}{9}$]∪[$\frac{4π}{9}$，$\frac{5π}{9}$]，
∴f（x）的增區間為$[\frac{π}{18}，\frac{π}{9}]，[\frac{4π}{9}，\frac{5π}{9}]$，減區間為$[\frac{π}{9}，\frac{4π}{9}]$．

點評 本題考查了y=Asin（ωx+φ）的性質，正弦函數的性質，屬于中檔題．