Question

9．某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體外接球的表面積為$\frac{41}{4}π$．

Answer 1

分析 根據三視圖得出空間幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O-ABCD，正方體的棱長為2，A，D為棱的中點，利用球的幾何性質求解即可．

解答 解：根據三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O-ABCD，如圖，正方體的棱長為2，A，D為棱的中點．根據幾何體可以判斷：球心應該在過A，D的平行于底面的中截面上，設球心到截面BCO的距離為x，則到AD的距離為：2-x，
∴R²=x²+（$\sqrt{2}$）²，R²=1²+（2-x）²，
解得出：x=$\frac{3}{4}$，R=$\frac{\sqrt{41}}{4}$，
該多面體外接球的表面積為：$4π（\frac{\sqrt{41}}{4}）^{2}=\frac{41}{4}π$；
故答案為：$\frac{41}{4}π$

點評 本題綜合考查了空間幾何體的性質，學生的空間思維能力，構造思想，關鍵是鑲嵌在常見的幾何體中解決