Question

2．若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得弦長為4，則$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是（　　）

• A． 9
• B． 4
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 求出圓心和半徑，由圓心到直線的距離等于零可得直線過圓心，即a+b=1；再利用基本不等式求得$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：圓x²+y²+2x-4y+1=0，即圓（x+1）²+（y-2）² =4，
它表示以（-1，2）為圓心、半徑等于2的圓；
設弦心距為d，由題意可得 2²+d²=4，求得d=0，
可得直線經過圓心，故有-2a-2b+2=0，
即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得
$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$ ）（a+b）=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$=9，
當且僅當$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$時取等號，∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是9．
故選：A．

點評 本題考查了直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式和基本不等式的應用問題，是中檔題．