Question

12．在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=2，$C=\frac{π}{3}$．
（1）若△ABC的面積等于$\sqrt{3}$，求a，b；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，證明：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由三角形的面積公式可得ab=4，結合余弦定理可得a+b=4，聯立可解．
（2）已知條件結合三角函數公式化簡可得sinBcosA=2sinAcosA，分別可得A=$\frac{π}{2}$或B=$\frac{π}{2}$，即可證明

解答 解：（1）由余弦定理及已知條件得，a²+b²-ab=4，
又因為△ABC的面積等于$\sqrt{3}$，所以$\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$，得ab=4．
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{b^2}-ab=4\\ ab=4\end{array}\right.$，
解得a=2，b=2．     
（2）由題意得sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA，
當cosA=0時，$A=\frac{π}{2}$，△ABC是直角三角形；
當cosA≠0時，得sinB=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，
$C=\frac{π}{3}$代入上式得$sinB=sinB+\sqrt{3}cosB$，
故$cosB=0，B=\frac{π}{2}$，
故△ABC是直角三角形

點評 本題考查三角形的面積公式以及三角形的余弦定理，三角形形狀的判斷，涉及三角函數公式的應用，屬中檔題．