Question

4．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（1）=0，$\frac{xf'（x）+f（x）}{x^2}＞0$（x＞0），則不等式x²f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 不能式等價于f（x）＞0，x≠0的解集，構造函數g（x）=xf（x），求出導函數，利用導函數，結合奇函數的性質得出f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．

解答 解：不等式x²f（x）＞0的解集也是f（x）＞0，x≠0的解集，
令g（x）=xf（x），可知g（x）在定義域內為偶函數，
當x＞0時，g'（x）=xf'（x）+f（x）＞0，g（1）=0，
∴當x＞1時，g（x）＞0，f（x）＞0，
根據奇函數定義可知，
當-1＜x＜0時，g（x）＜0，f（x）＞0，
∴f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．
故答案為（-1，0）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了函數的構造和導函數的應用，難點是對題意的準確理解和對函數的構造．