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15.已知函數(shù)f(x)=ex+2x-a,a∈R,若曲線y=sinx上存在點(x0,y0),使得f(f(y0))=y0,則實數(shù)a的取值范圍是[-1+e-1,1+e].

分析 根據(jù)題意,由正弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得:y=sinx上存在點(x0,y0),可得y0=sinx0∈[-1,1].函數(shù)f(x)=ex+2x-a在[-1,1]上單調(diào)遞增.利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性可以證明f(y0)=y0.令函數(shù)f(x)=ex+2x-a=x,化為a=ex+x.令g(x)=ex+x (x∈[-1,1]).利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.

解答 解:曲線y=sinx上存在點(x0,y0),
∴y0=sinx0∈[-1,1].
函數(shù)f(x)=ex+2x-a在[-1,1]上單調(diào)遞增.
下面證明f(y0)=y0
假設(shè)f(y0)=c>y0,則f(f(y0))=f(c)>f(y0)=c>y0,不滿足f(f(y0))=y0
同理假設(shè)f(y0)=c<y0,則不滿足f(f(y0))=y0
綜上可得:f(y0)=y0
令函數(shù)f(x)=ex+2x-a=x,化為a=ex+x.
令g(x)=ex+x(x∈[-1,1]).
g′(x)=ex+1>0,∴函數(shù)g(x)在x∈[-1,1]單調(diào)遞增.
∴e-1-1≤g(x)≤e+1.
∴a的取值范圍是[-1+e-1,e+1];
故答案為:[-1+e-1,e+1].

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,涉及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為f(x)=x在[-1,1]上有解的問題.

練習(xí)冊系列答案
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