Question

10．祖暅著《綴術》有云：“緣冪勢既同，則積不容異”，這就是著名的祖暅原理，如圖1，現有一個半徑為R的實心球，以該球某條直徑為中心軸挖去一個半徑為r的圓柱形的孔，再將余下部分熔鑄成一個新的實心球，則新實心球的半徑為$\root{3}{\frac{2{R}^{3}-3{r}^{2}\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}}{2}}$（如圖2，勢為h時冪為S=π（R²-r²-h²））

Answer 1

分析 設新實心球的半徑為x，可得$\frac{4π}{3}$x³+$π{r}^{2}×2\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{4π}{3}{R}^{3}$．解出即可得出．

解答 解：設新實心球的半徑為x，則$\frac{4π}{3}$x³+$π{r}^{2}×2\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{4π}{3}{R}^{3}$．
解得x=$\root{3}{\frac{2{R}^{3}-3{r}^{2}\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}}{2}}$．
故答案為：$\root{3}{\frac{2{R}^{3}-3{r}^{2}\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}}{2}}$．
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點評 本題考查了圓柱與球的體積計算公式、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．