Question

7．已知以點$C（t，\frac{2}{t}）（t∈R且t≠0）$為圓心的圓經過原點O，且與x軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）求證：△AOB的面積為定值．
（2）設直線2x+y-4=0與圓C交于點M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．
（3）當t＞0時，在（2）的條件下，設P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）推導出圓的方程為x²-2tx+y²-$\frac{4}{t}y$=0．與坐標軸的交點分別為：A（2t，0），B（0，$\frac{4}{t}$）．由此能證明S_△OAB=4，為定值．
（2）由|OM|=|ON|，得原點O在線段MN的垂直平分線上，設線段MN的中點為H，則C，H，O三點共線，從而求出t=±2，由此能求出圓C的方程．
（3）圓心C（2，1），半徑r=$\sqrt{5}$，點B（0，2）關于直線x+y+2=0的對稱點為B′（-4，-2），則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，由此能求出|PB|+|PQ|的最小值和點P坐標．

解答 證明：（1）由題意可得：圓的方程為：（x-t）²+（y-$\frac{2}{t}$）²=t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$，化為：x²-2tx+y²-$\frac{4}{t}y$=0．
與坐標軸的交點分別為：A（2t，0），B（0，$\frac{4}{t}$）．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}×|2t|×|\frac{4}{t}|$=4，為定值．
解：（2）∵|OM|=|ON|，∴原點O在線段MN的垂直平分線上，設線段MN的中點為H，
則C，H，O三點共線，
OC的斜率k=$\frac{\frac{2}{t}}{t}$=$\frac{2}{{t}^{2}}$，∴$\frac{2}{{t}^{2}}$×（-2）=-1，解得t=±2，
可得圓心C（2，1），或（-2，-1）．
∴圓C的方程為：（x-2）²+（y-1）²=5，或（x+2）²+（y+1）²=5．
（3）由（2）可知：圓心C（2，1），半徑r=$\sqrt{5}$，點B（0，2）關于直線x+y+2=0的對稱點為B′（-4，-2），
則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又點B′到圓上點Q的最短距離為|B′C|-r=$\sqrt{（-6）^{2}+（-3）^{2}}$-$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
則|PB|+|PQ|的最小值為2$\sqrt{5}$．
直線B′C的方程為：y=$\frac{1}{2}$x，此時點P為直線B′C與直線l的交點，
故所求的點P（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查三角形面積為定值的證明，考查圓的方程的求法，考查兩線段落和的最小值及點的坐標的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．