Question

3．已知m∈R，復數$z=\frac{m（m+2）}{m-1}+（{m^2}+2m-1）i$，當m為何值時：
（1）z∈R；
（2）z是虛數；
（3）z是純虛數．

Answer 1

分析 （1）根據虛部為零，列出方程進行求解；
（2）令它的實部為不為零，虛部不為零，列出方程及不等式進行求解；
（3）根據實部為零，虛部不為零列出不等式組進行求解即可．

解答 解：（1）當z∈R，當$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+2m-1=0}\\{m-1≠0}\end{array}\right.$，解得m=-1±$\sqrt{2}$，
∴當m=-1±$\sqrt{2}$，z是實數；
（2）當z是虛數時，則有$\left\{\begin{array}{l}{m-1≠0}\\{{m}^{2}+2m-1≠0}\end{array}\right.$，解得m≠-1±$\sqrt{2}$且m≠1
即m≠-1±$\sqrt{2}$且m≠1，z是虛數；
（3）當z是純虛數時，則有$\left\{\begin{array}{l}{m-1≠0}\\{m（m+2）=0}\end{array}\right.$，且m²+2m-1≠0，解得m=0或m=-2．
即m=0或m=-2，z是純虛數．

點評 本題考查了復數的基本概念，考查復數的幾何意義，解題的關鍵是理解復數的分類及復數的幾何意義：復數與平面內的點一一對應．