Question

2．設函數f（x）=sinx-x，g（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}}$．
（1）求證：當-$\frac{π}{2}$≤x≤0，有f（x）≥0；
（2）若g（x）≤ax對任意的x∈[-$\frac{π}{2}$，0]成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導，根據導數判斷函數的單調性，即可求出在閉區間上的最值，問題得以證明，
（2））由g（x）≤ax對任意的x∈[-$\frac{π}{2}$，0]成立，設y=ax，得到y_min≥g（x）_max，對任意的x∈[-$\frac{π}{2}$，0]成立，分類討論即可求出a的取值范圍．

解答 （1）證明：∵f（x）=sinx-x，
∴f′（x）=cosx-1≤0，在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上恒成立，
∴f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上單調遞減，
∴f（x）≥f（0）=0-0=0，
（2）解：∵g（x）≤ax對任意的x∈[-$\frac{π}{2}$，0]成立，
設y=ax，
∴y_min≥g（x）_max，對任意的x∈[-$\frac{π}{2}$，0]成立，
∵g（x）=$\frac{sinx}{{e}^{x}}$，x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
∴g′（x）=$\frac{cosx-sinx}{{e}^{x}}$＞0，在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上恒成立，
∴g（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上單調遞增，
∴g（x）_max=g（0）=0，
當a＞0時，函數y=ax為增函數，
∴y_min=-$\frac{π}{2}$a，
∴-$\frac{π}{2}$a≥0，解得a≤0（舍去），
當a＜0時，函數y=ax為減函數，
∴y_min=0，
∴y_min≥g（x）_max，恒成立，
當a=0時，函數y=0，對于任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，0≥g（x）_max，恒成立，
綜上所述a的取值范圍為（-∞，0]

點評 本題考查了導數和函數的單調性和最值的關關系，以及不等式很成立的問題，屬于中檔題．