Question

17．已知A，P，Q為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上三點，若直線PQ過原點，且直線AP，AQ的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，則橢圓C的離心率等于（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 設點的坐標，表示出直線AP，AQ的斜率，利用直線AP，AQ的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，結合點差法，化簡，即可求得離心率．

解答 解：設A（x，y），P（m，n），Q（-m，-n），則直線AP，AQ的斜率分別為$\frac{y-n}{x-m}$，$\frac{y+n}{x+m}$
∵直線AP，AQ的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{y-n}{x-m}•\frac{y+n}{x+m}=-\frac{1}{2}$，即$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}=-\frac{1}{2}$，
∵A，P是橢圓C上的點，∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1$，
兩式相減可得$\frac{{x}^{2}-{m}^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{^{2}}$，
∴$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}=-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
則$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，解得e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的幾何性質，考查點差法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．