Question

12．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a_na_n+1=4n²-1（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{4n}{（{a}_{n}{a}_{n+1}）^{2}}$，證明b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式列式求得首項(xiàng)和公差，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）把數(shù)列通項(xiàng)公式代入b_n=$\frac{4n}{（{a}_{n}{a}_{n+1}）^{2}}$，然后利用裂項(xiàng)相消法求和證明．

解答 （1）解：設(shè){a_n}的公差為d，a₁＞0，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{a}_{2}={a}_{1}（{a}_{1}+d）=3}\\{{a}_{2}{a}_{3}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+2d）=15}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）證明：${b}_{n}=\frac{4n}{（{a}_{n}{a}_{n+1}）^{2}}=\frac{4n}{（2n-1）^{2}（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}[\frac{1}{（2n-1）^{2}}-\frac{1}{（2n+1）^{2}}]$，
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$[（$1-\frac{1}{{3}^{2}}$）+（$\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{（2n-1）^{2}}-\frac{1}{（2n+1）^{2}}$）]
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{（2n+1）^{2}}）＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了數(shù)列不等式的證法，是中檔題．