Question

1．如圖所示，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）設點F是棱BC上一點，當點F滿足$\overrightarrow{CF}$=2$\overrightarrow{FB}$時，求二面角A-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用線面面面垂直的判定與性質定理即可證明．
（2）CD⊥DE，如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量的坐標運算性質可得F．再利用平面法向量的夾角即可得出二面角的平面角．

解答 （1）證明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD．
又∵AD⊥CD，AE∩AD=A，
∴CD⊥面ADE，又CD?面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE．
（2）解：∵CD⊥DE，∴如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，
在Rt△ADE中，∵AE=1，AD=2，∴$DE=\sqrt{3}$，
則$D（{0，0，0}），C（{0，2，0}），E（{\sqrt{3}，0，0}），A（{\sqrt{3}，0，1}）$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$（0，2，0），
∴$B（{\sqrt{3}，2，1}）$．
$\overrightarrow{CF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$=$（\frac{2\sqrt{3}}{3}，0，\frac{2}{3}）$，則$F（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，0，\frac{2}{3}}）$．
設平面FDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x+2y=0}\\{\sqrt{3}x=0}\end{array}}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（0，\frac{2}{3}，-2）$．
又平面ADE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∴cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{2}{3}}{1×\sqrt{\frac{4}{9}+4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
即二面角A-DE-F的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質定理、向量的坐標運算性質、通過平面法向量的夾角得出二面角的平面角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．