Question

5．如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min．在甲出發2min 后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C．假設纜車勻速直線運行的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經測量，cos A=$\frac{12}{13}$，cos C=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求索道AB的長；
（Ⅱ）問：乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（Ⅲ）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知sin B=sin（A+C）=sin Acos C+cos Asin C，求得sinB，由正弦定理可知：$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$，即可求得AB的長；
（Ⅱ）設乙出發t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130t m，由余弦定理可得d²=（100+50t）²+（130t）²-2×130t×（100+50t）×$\frac{12}{13}$=200（37t²-70t+50）．根據二次函數的性質當t=$\frac{35}{37}$min時，甲、乙兩游客距離最短；
（Ⅲ）由正弦定理求得BC=500m，甲已走了50×（2+8+1）=550 m，還需走710 m才能到達C，由題意可知：-3≤$\frac{500}{v}$-$\frac{710}{50}$≤3，即可求得乙步行的速度應控制在什么范圍．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，cos A=$\frac{12}{13}$，cos C=$\frac{3}{5}$，
∴sin A=$\frac{5}{13}$，sinC=$\frac{4}{5}$，
∴sin B=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sin Acos C+cos Asin C=$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{12}{13}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$，
由正弦定理$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$，可得：AB=$\frac{AC}{sinB}$•sinC=$\frac{1260}{\frac{63}{65}}$×$\frac{4}{5}$=1040m，
∴索道AB的長為1040 m．
（Ⅱ）假設乙出發t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了（100+50t） m，乙距離A處130t m，
∴由余弦定理得d²=（100+50t）²+（130t）²-2×130t×（100+50t）×$\frac{12}{13}$=200（37t²-70t+50）．
∵0≤t≤$\frac{1040}{130}$，即0≤t≤8，
故當t=$\frac{35}{37}$min時，甲、乙兩游客距離最短．
（Ⅲ）由正弦定理$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sinB}$，得BC=$\frac{AC}{sinB}$•sin A=$\frac{1260}{\frac{63}{65}}$×$\frac{3}{15}$=500 m．
乙從B出發時，甲已走了50×（2+8+1）=550 m，還需走710 m才能到達C，
設乙步行的速度為v m/min，由題意得-3≤$\frac{500}{v}$-$\frac{710}{50}$≤3，
解得：$\frac{1250}{43}$≤v≤$\frac{625}{14}$，
∴為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應控制在[$\frac{1250}{43}$，$\frac{625}{14}$]（單位：m/min）范圍內．

點評 本題考查正弦定理及余弦定理的應用，考查了同角三角函數的基本關系、及不等式解法和解三角形的實際應用等知識，考查分類討論及數形結合的思想，屬于中檔題．