Question

7．若直線y=ax+b是函數f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象的切線，則a+b的最小值為-1．

Answer 1

分析 首先設切點（m，lnm-$\frac{1}{m}$），利用導數求出x=m點處斜率，故有 a=$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}$，lnm-$\frac{1}{m}$=ma+b；
構造新函數h（t）=-lnt-t+t²-1，求h（t）的最小值即可；

解答 解：設切點（m，lnm-$\frac{1}{m}$），函數f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$的導數為：
f'（x）=$\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有切線的斜率$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}$，
若直線g（x）=ax+b是函數f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象的切線，則 a=$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}$，lnm-$\frac{1}{m}$=ma+b，
即有：b=lnm-$\frac{2}{m}$-1，
a+b=lnm-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$-1，
令$\frac{1}{m}$=t＞0，則a+b=-lnt-t+t²-1，
令h（t）=-lnt-t+t²-1，
則h'（t）=-$\frac{1}{t}$+2t-1=$\frac{（2t+1）（2t-1）}{t}$
當t∈（0，1）時，h'（t）＜0，h（t）在（0，1）上是單調遞減；
當t∈（1，+∞）時，h（t）＞0，h（t）在（1，+∞）上是單調遞增；
即有t=1時，h（t）取得極小值，也為最小值．
故a+b≥h（1）=-1
故答案為：-1

點評 本題主要考查了利用導數求切線斜率、構造新函數求最小值，屬中等題．