Question

17．設函數f（x）=$\frac{x}{x+3}$（x＞0），觀察：f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{x+3}$，f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{x}{4x+9}$，
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{x}{13x+27}$，f₄（x）=f（f₃（x））=$\frac{x}{40x+81}$…，根據以上事實，由歸納推理可得：當n∈N^*，n≥2時，f_n（x）=f （f_n-1（x））=$\frac{x}{{\frac{{{3^n}-1}}{2}x+{3^n}}}$．

Answer 1

分析 由題目給出的四個等式發現，每一個等式的右邊都是一個單項式，分子都是x，分母是$\frac{{3}^{n}-1}{2}x+{3}^{n}$，即可得出結論．

解答 解：由題目給出的四個等式發現，每一個等式的右邊都是一個單項式，分子都是x，分母是$\frac{{3}^{n}-1}{2}x+{3}^{n}$，據此可以歸納為：f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{x}{{\frac{{{3^n}-1}}{2}x+{3^n}}}$．
故答案為$\frac{x}{{\frac{{{3^n}-1}}{2}x+{3^n}}}$．

點評 本題考查了歸納推理，歸納推理是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納類比，然后提出猜想的推理，此題是基礎題．