Question

12．如果三棱錐A-BCD的底面BCD是正三角形，頂點A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，則這樣的三棱錐稱為正三棱錐．給出下列結論：
①正三棱錐A-BCD中必有AB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BD；
②正三棱錐A-BCD所有相對棱中點連線必交于一點；
③當正三棱錐A-BCD所有棱長都相等時，該棱錐內切球和外接球半徑之比為1：2；
④若正三棱錐A-BCD的側棱長均為2，側面三角形的頂角為40°，過點B的平面分別交側棱AC，AD于M，N，則△BMN周長的最小值等于$2\sqrt{3}$．
以上結論正確的是①②④．（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 根據正三棱錐的定義，對每個命題進行判斷，即可得出結論．

解答 解：①正三棱錐A-BCD中，正三棱錐頂點A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，必有AB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BD，正確；
②利用平行四邊形的性質，可得正三棱錐A-BCD所有相對棱中點連線必交于一點，正確；
③當正三棱錐A-BCD所有棱長都相等時，該棱錐內切球和外接球半徑之比為1：3，不正確；
④若正三棱錐A-BCD的側棱長均為2，一個側面的頂角為40°，過點B的平面分別交側棱AC，AD于M，N．則△BMN周長的最小值等于$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，故正確．
故答案為①②④．

點評 本題綜合考查空間線面關系，類比、轉化思想，屬于中檔題．