Question

8．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數y=g（x）的圖象，當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數g（x）的最大值與最小值，并指出取得最值時的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據已知中函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）圖象，可分析出函數的最值，確定A的值，分析出函數的周期，確定ω的值，將（0，-$\sqrt{3}$）代入解析式，可求出ϕ值，進而求出函數的解析式．
（Ⅱ）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換得到函數y=$g（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$；  結合正弦函數的最值的求法進行解答即可．

解答 解：（Ⅰ）觀察圖象得，A=2．
因為$\frac{T}{2}=\frac{π}{6}-（-\frac{π}{3}）=\frac{π}{2}$，
所以T=π，ω=2．
當x=0時，$2sinφ=-\sqrt{3}$，$|φ|＜\frac{π}{2}$，故$φ=-\frac{π}{3}$．
所以所求解析式為$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位得到函數y=g（x）的圖象，
故$g（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$；                
當$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$，$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，
由正弦函數的性質可知，
當$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{12}$時，g（x）取得最大值2，

當$2x+\frac{π}{3}=\frac{4π}{3}$即$x=\frac{π}{2}$時，g（x）取得最小值$-\sqrt{3}$．

點評 本題考查的知識點正弦型函數解析式的求法，其中關鍵是要根據圖象分析出函數的最值，周期等，進而求出A，ω和φ值．