Question

已知a∈R，函數f（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²+b，g（x）=2alnx
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，0）處的切線互相垂直，求a，b的值．
（2）設F（x）=f′（x）-g（x），若對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁），并求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）把點（1，0）代入函數解析式，再由函數在x=1時的導數乘積等于-1列式，聯立后求得a，b的值；
（2）求出函數f（x）的導函數，代入F（x）=f′（x）-g（x），把若對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁）轉化為F′（x）的最小值大于a恒成立．令h(x)=F′(x)=x+(a-2)-

2a

x

，分類求導求得其最小值點，得到x=

-2a

為h（x）的極小值點，也是最小值點．由

-2a

-

2a

-2a

+a-2＞a求得a的范圍．

解答： 解：（1）由點（1，0）在f（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²+b上，得

1

6

+

1

2

(a-2)+b=0  ①，
由f′(1)=

1

2

+(a-2)，g′（1）=2a，得[

1

2

+(a-2)]•2a=-1  ②，
聯立①②，解得a=

1

2

或a=1．
當a=

1

2

時，b=

7

12

；當a=1時，b=

1

3

；
（2）f′(x)=

1

2

x2+(a-2)x，
F（x）=f′（x）-g（x）=

1

2

x2+(a-2)x-2alnx，
若對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁），
不妨設x₂＞x₁，則有

F(x2)-F(x1)

x2-x1

＞a恒成立，即F′（x）的最小值大于a恒成立．
令h(x)=F′(x)=x+(a-2)-

2a

x

，
則h′(x)=1+

2a

x2

，
若a≥0，則h′（x）＞0恒成立，h（x）單調遞增，h（x）_min→h（0）→-∞，此時命題不能恒成立；
若a＜0，則h′(x)=

(x+ -2a )(x- -2a )

x2

，
∵x＞0，∴x=

-2a

為h（x）的極小值點，也是最小值點．
故有

-2a

-

2a

-2a

+a-2＞a，即

-2a

＞1，解得a＜-

1

2

．
∴當a∈（-∞，-

1

2

）時，命題成立．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，考查了數學轉化思想方法，是壓軸題．