Question

拋物線x²=2py（p＞0）過焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，O為原點，若△AOB面積最小值為8．
（1）求P值
（2）過A點作拋物線的切線交y軸于N，

FM

=

FA

+

FN

，則點M在一定直線上，試證明之．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）拋物線x²=2py的焦點F(0，

p

2

)，設直線l方程為y=kx+

p

2

，與拋物線方程聯立可得x²-2pkx-p²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），S_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=

1

2

|OF|•|x1-x2|=

p2

2

k2+1

≥

p2

2

，即可得出．
（2）由x²=8y，利用導數可得y′=

x

4

，過A點的切線方程為y=

x1

4

(x-x1)+

x 2 1

8

，可得N（0，-y₁），設M（x，y），又F（0，2），利用

FM

=

FA

+

FN

，可得

x=x1 y=-2

，即可證明．

解答： （1）解：∵拋物線x²=2py的焦點F(0，

p

2

)，
∴設直線l方程為y=kx+

p

2

，
由

x2=2py y=kx+ p 2

，消去y得x²-2pkx-p²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
S_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=

1

2

|OF|•|x1|+

1

2

|OF|•|x2|=

1

2

|OF|•|x1-x2|
=

P

4

•

4p2k2+4p2

=

p2

2

k2+1

≥

p2

2

，當k=0的等號成立，
∴S_△AOB面積的最小值為

p2

2

，
∴

p2

2

=8，
∵p＞0，∴p=4．
（2）證明：∵x²=8y，∴y′=

x

4

，
∴過A點的切線方程為y=

x1

4

(x-x1)+

x 2 1

8

，
即y=

1

4

x1x-

1

8

x

2 1

=

1

4

x1x-y1，
∴N（0，-y₁），
設M（x，y），
又∵F（0，2），
∴

FM

=（x，y-2），

FA

=（x₁，y₁-2），

FN

=（0，-y₁-2），
∵

FM

=

FA

+

FN

，
∴

x=x1 y-2=y1-2-y1-2

，
得

x=x1 y=-2

，
∴M點在直線y=-2上．

點評：本題考查了直線與拋物線相交相切問題、弦長公式、三角形的面積計算公式、向量坐標運算、切線方程、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．