Question

已知銳角△ABC的三個內角A，B，C對邊分別是a，b，c，且

a

cosA

=

b+c

cosB+cosC

．
（1）若a=2，△ABC的面積為

3

，求b；
（2）若∠B是△ABC的最大內角，求sinB-cosB的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形

分析：（1）運用正弦定理化簡，可得cosA，可得A，再由面積公式和余弦定理，解方程可得b=2；
（2）運用兩角差的正弦公式化簡所求式，根據條件求得B的范圍，再由正弦函數的圖象和性質，即可得到所求范圍．

解答： 解：（1）

a

cosA

=

b+c

cosB+cosC

，
即為acosB+acosC=bcosA+ccosA，
（acosB+bcosA）+（acosC+ccosA）=2cosA（b+c），
由正弦定理可得，（sinAcosB+sinBcosA）+（sinAcosC+sinCcosA）
=2cosA（sinB+sinC），
即有sin（A+B）+sin（A+C）=2cosA（sinB+sinC），
即sinC+sinB=2cosA（sinB+sinC），即有cosA=

1

2

，
A=

π

3

，
△ABC的面積為

3

，則

1

2

bcsinA=

3

，
即bc=4，由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA=4，
即有b²+c²=8，解得，b=c=2；
（2）∠B是△ABC的最大內角，則有B≥A，B≥C，
即有2B≥A+C=π-B，則

π

3

≤B＜

π

2

，
即有sinB-cosB=

2

（

2

2

sinB-cosB）
=

2

sin（B-

π

4

），
由

π

12

≤B-

π

4

＜

π

4

，則

6 - 2

4

≤sin（B-

π

4

）＜

2

2

，
則sinB-cosB的取值范圍是[

3 -1

2

，1）．

點評：本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運用，考查兩角和差的正弦公式及運用，考查化簡運算能力，屬于中檔題．