Question

設對任意的正整數m，n，數列{a_n}，{b_n}滿足3a_m+n=a_m•a_n，且a₁=1，b_m+n=b_n+2m，且b₅=13．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=

1

bnbn+1

，求數列{c_n}的前n項和S_n；
（3）設d_n=na_n，Tn是數列{d_n}的前n項和，證明：1≤T_n＜

9

4

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）取m=1，得a_n=3a_n+1，

an+1

an

=

1

3

，從而得到a_n=

1

3n-1

，b_n+1=b_n+2，由此得到b_n=5+（n-1）×2=2n+3．
（2）c_n=

1

bnbn+1

=

1

(2n+3)(2n+5)

=

1

2

（

1

2n+3

-

1

2n+5

），由此利用裂項求法法能求出數列{c_n}的前n項和S_n．
（3）d_n=na_n=

n

3n-1

，由此利用錯位相減法能證明1≤T_n＜

9

4

．

解答： 解：（1）∵對任意的正整數m，n，數列{a_n}滿足3a_m+n=a_m•a_n，且a₁=1，
∴取m=1，得a_n=3a_n+1，

an+1

an

=

1

3

，
∴a_n=

1

3n-1

，
∵對任意的正整數m，n，數列{b_n}滿足b_m+n=b_n+2m，且b₅=13，
∴當m=1時，b_n+1=b_n+2，
b₄₊₁=b₁+8=13，解得b₁=5，
∴{b_n}是首項為5，公差為2的等差數列，
∴b_n=5+（n-1）×2=2n+3．
（2）c_n=

1

bnbn+1

=

1

(2n+3)(2n+5)

=

1

2

（

1

2n+3

-

1

2n+5

），
∴S_n=

1

2

（

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+3

-

1

2n+5

）
=

1

2

（

1

5

-

1

2n+5

）
=

1

10

-

1

4n+10

．
（3）d_n=na_n=

n

3n-1

，
T_n=

1

30

+

2

3

+

3

32

+…+

n

3n-1

，①

1

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

，②
①-②，得：

2

3

Tn=1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

-

n

3n

=

1- 1 3n

1- 1 3

-

n

3n

∴T_n=

9

4

（1-

1

3n

）-

n

2•3n-1

＜

9

4

，
（T_n）_min=T₁=

9

4

(1-

1

3

)-

1

2

=1，
∴1≤T_n＜

9

4

．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，考查不等式的證明，解題時要注意裂項求和法、錯位相減法的合理運用．