Question

已知函數f（x）=x-lnx，g（x）=lnx+

a

x

，（a＞0）．
（1）求函數g（x）的極值；
（2）已知x₁＞0，函數h（x）=

f(x)-f(x1)

x-x1

，x∈（x₁，+∞），判斷并證明h（x）的單調性；
（3）設0＜x₁＜x₂，試比較f(

x1+x2

2

)與

1

2

[f(x1)+f(x2)]，并加以證明．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（1）求導g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，從而確定函數的單調性及極值；
（2）先判斷h（x）在（x₁，+∞）上是增函數，再求導證明；
（3）由（2）知，h(x)=

f(x)-f(x1)

x-x1

在（x₁，+∞）上是增函數，從而令x=

x1+x2

2

求得．

解答： 解：（1）g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，令g'（x）=0，得x=a．
當x∈（0，a）時，g'（x）＜0，g（x）是減函數；
當x∈（a，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）是增函數．
∴當x=a時，g（x）有極小值lna+1，g（x）無極大值．
（2）h（x）在（x₁，+∞）上是增函數，證明如下，
h′(x)=

f′(x)(x-x1)-f(x)+f(x1)

(x-x1)2

=

(1- 1 x )(x-x1)-x+lnx+x1-lnx1

(x-x1)2

=

x1 x +lnx-1-lnx1

(x-x1)2

，
由（1）知φ(x)=

x1

x

+lnx在[x₁，+∞）上是增函數，
當x∈（x₁，+∞）時，φ（x）＞φ（x₁），
即

x1

x

+lnx＞1+lnx1，
∴h'（x）＞0，
即h（x）在（x₁，+∞）上是增函數．
（3）0＜x₁＜x＜x₂，由（2）知，h(x)=

f(x)-f(x1)

x-x1

在（x₁，+∞）上是增函數，
則

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞

f(x)-f(x1)

x-x1

，
令x=

x1+x2

2

得，
f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]．

點評：本題考查了導數的綜合應用，屬于中檔題．