Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使直線PF與AD所成角為60°？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE，由已知O，M分別是AC，EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，容易得到AM∥OE，利用線面平行的性質(zhì)可證；
（2）設(shè)CP=T（0≤T≤2），作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，得到PQ⊥平面ABF，再由△PAQ為等腰直角三角形，△PAF為直角三角形，得到關(guān)于t的等式解之得到t=1即可．

解答： （1）證明：記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE，
∵O，M分別是AC，EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，
∴四邊形AOEM是平行四邊形，
∴AM∥OE…（4分）
∵OE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．…（6分）
（2）設(shè)CP=T（0≤T≤2），
作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，AB∩AF=A，
∴PQ⊥平面ABF，
QF?平面ABF，
∴PQ⊥QF．
在RT△PQF中，∠FPQ=60°，PF=2PQ．…（9分）
∵△PAQ為等腰直角三角形，
∴PQ=

2

2

（2-t）
又∵△PAF為直角三角形，
∴PF=

(2-t)2+1

，
∴

(2-t)2+1

=2-

2

2

(2-t)，∴t=1或t=3（舍去）．
∴點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定以及線面垂直的性質(zhì)的運(yùn)用，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)求t，體現(xiàn)了代數(shù)思想．