Question

4．已知函數f（x）=2^x+cosα-2^-x+cosα，x∈R，且$f（1）=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
（1）若0≤α≤π，求α的值；
（2）當m＜1時，證明：f（m|cosθ|）+f（1-m）＞0．

Answer 1

分析 （1）由f（1），解方程和特殊三角函數值，即可得到；
（2）運用余弦函數的性質和參數分離，結合函數的單調性和奇偶性，即可得證．

解答 解：（1）$f（1）=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，${2^{1+cosα}}-{2^{-1+cosα}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，
${2^{cosα}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（2分）
$cosα=-\frac{1}{2}$…（3分）
由0≤α≤π，
∴$α=\frac{2π}{3}$…（7分）
（2）證明：∵m＜1，若|cosθ|≠1，則$\frac{1}{{1-|{cosθ}|}}≥1$，…（9分）
∴$m＜\frac{1}{{1-|{cosθ}|}}$，m（|cosθ|-1）＞-1，m|cosθ|＞m-1，
又|cosθ|=1時左式也成立，∴m|cosθ|＞m-1…（11分）
由（1）知，$f（x）={2^{x-\frac{1}{2}}}-{2^{-x-\frac{1}{2}}}$，在x∈R上為增函數，且為奇函數，…（13分）
∴f（m|cosθ|）＞f（m-1）∴f（m|cosθ|）+f（1-m）＞0…（15分）

點評 本題考查三角函數的求值和不等式的證明，考查參數分離和運算能力，屬于中檔題．