Question

14．已知a∈R，命題p：?x∈[-2，-1]，x²-a≥0，命題q：?x∈R，x²+2ax-（a-2）=0．
（1）若命題p為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=x²-a，若命題p為真命題，只要x∈[-2，-1]時，f（x）_min≥0即可，進而得到實數a的取值范圍；
（2）若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，命題p與q一真一假，進而得到答案．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）因為命題p：?x∈[-2，-1]，x²-a≥0．
令f（x）=x²-a，
根據題意，只要x∈[-2，-1]時，f（x）_min≥0即可，
也就是1-a≥0，即a≤1；…（4分）
（2）由（1）可知，當命題p為真命題時，a≤1，
命題q為真命題時，△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≤-2或a≥1   …（6分）
因為命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，所以命題p與q一真一假，
…（7分）
當命題p為真，命題q為假時，-2＜a＜1，…（9分）
當命題p為假，命題q為真時，a＞1．…（11分）
綜上：a＞1或-2＜a＜1．…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查的知識點是復合命題，函數恒成立問題，方程根的存在性及個數判斷，難度中檔．