Question

2．已知函數f（x）=e²-x+a，x∈R的圖象在點x=0處的切線為y=bx．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式．
（Ⅱ）當x∈R時，求證：f（x）≥-x²+x；
（Ⅲ）若f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圖象在點x=0處的切線為y=bx，求出a，b，即可求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，確定函數的單調性，可得φ（x）_min=φ（0）=0，即可證明：f（x）≥-x²+x；
（Ⅲ）f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立?$\frac{f（x）}{x}$＞k對任意的x∈（0，+∞）恒成立，k＜g（x）_min=g（1）=0，即可求實數k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-x²+a，f'（x）=e^x-2x．
由已知 $\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1+a=0}\\{f′（0）=1=b}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，f（x）=e^x-x²-1．…（4分）
（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，φ'（x）=e^x-1，由φ'（x）=0，得x=0，
當x∈（-∞，0）時，φ'（x）＜0，φ（x）單調遞減；
當x∈（0，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）單調遞增．
∴φ（x）_min=φ（0）=0，從而f（x）≥-x²+x．…（8分）
（Ⅲ）f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立?$\frac{f（x）}{x}$＞k對任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{（x-1）{（e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$，
由（Ⅱ）可知當x∈（0，+∞）時，e^x-x-1＞0恒成立，…（10分）
令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴g（x）的增區間為（1，+∞），減區間為（0，1）．g（x）_min=g（1）=0．
∴k＜g（x）_min=g（1）=e-2，∴實數k的取值范圍為（-∞，e-2）．…（14分）

點評 此題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值問題，考查了函數的單調性，屬于中檔題．