Question

9．設函數$f（x）=\frac{{{e^2}{x^2}+1}}{x}，g（x）=\frac{{{e^2}x}}{e^x}$，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），不等式$\frac{{g（{x_1}）}}{k}≤\frac{{f（{x_2}）}}{k+1}$恒成立，則正數k的取值范圍是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． $[\frac{1}{2e-1}，+∞）$
• D． $（\frac{1}{2e-1}，+∞）$

Answer 1

分析 當x＞0時，f（x）=e²x+$\frac{1}{x}$，利用基本不等式可求f（x）的最小值，對函數g（x）求導，利用導數研究函數的單調性，進而可求g（x）的最大值，由$\frac{{g（{x_1}）}}{k}≤\frac{{f（{x_2}）}}{k+1}$恒成立且k＞0，則 $\frac{{g（x）}_{max}}{k}$≤$\frac{{f（x）}_{min}}{k+1}$，可求k的范圍．

解答 解：∵當x＞0時，f（x）=e²x+$\frac{1}{x}$≥2 $\sqrt{{e}^{2}x•\frac{1}{x}}$=2e，
∴x₁∈（0，+∞）時，函數f（x₁）有最小值2e，
∵g（x）=$\frac{{e}^{2}x}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{2}（1-x）}{{e}^{x}}$，
當x＜1時，g′（x）＞0，則函數g（x）在（0，1）上單調遞增，
當x＞1時，g′（x）＜0，則函數在（1，+∞）上單調遞減，
∴x=1時，函數g（x）有最大值g（1）=e，
則有x₁、x₂∈（0，+∞），f（x₁）_min=2e＞g（x₂）_max=e，
∵$\frac{{g（{x_1}）}}{k}≤\frac{{f（{x_2}）}}{k+1}$恒成立且k＞0，
∴$\frac{e}{k}$≤$\frac{2e}{k+1}$，
∴k≥1，
故選：A．

點評 本題主要考查了利用基本不等式求解函數的最值，導數在函數的單調性，最值求解中的應用是解答本題的另一重要方法，函數的恒成立問題的轉化，本題具有一定的難度．