Question

19．已知函數(shù)f（x）=cos²x+sinx-1$（{0≤x≤\frac{π}{2}}）$，則f（x）值域是$[{0，\frac{1}{4}}]$，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[{0，\frac{π}{6}}]$．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡f（x）=-sin²x+sinx，然后利用換元法再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最值以及單調(diào)區(qū)間．

解答 解：f（x）=cos²x+sinx-1=（1-sin²x）+sinx-1=-sin²x+sinx，
設(shè)sinx=t，t∈[0，1]，
∴f（x）=-t²+t=-t（t-1），當t=$\frac{1}{2}$，即sinx=$\frac{1}{2}$，x=$\frac{π}{6}$時函數(shù)f（x）取得最大值為$\frac{1}{4}$，
當t=0，即sinx=0時，函數(shù)f（x）取得最小值為0．
∴f（x）值域是$[{0，\frac{1}{4}}]$，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[{0，\frac{π}{6}}]$．
故答案為：$[{0，\frac{1}{4}}]$，$[{0，\frac{π}{6}}]$．

點評 本題考查正弦函數(shù)的值域，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．