Question

7．函數$f（x）=[{\frac{x+1}{2}}]-[{\frac{x}{2}}]（x∈N）$的值域為{0，1}．（其中[x]表示不大于x的最大整數，例如[3.15]=3，[0.7]=0．）

Answer 1

分析 由題設中的定義，可對x分區間討論，設m表示整數，綜合此四類即可得到函數的值域

解答 解：設m表示整數．
①當x=2m時，[$\frac{x+1}{2}$]=[m+0.5]=m，[$\frac{x}{2}$]=[m]=m．
∴此時恒有y=0．
②當x=2m+1時，[$\frac{x+1}{2}$]=[m+1]=m+1，[$\frac{x}{2}$]=[m+0.5]=m．
∴此時恒有y=1．
③當2m＜x＜2m+1時，
2m+1＜x+1＜2m+2
∴m＜$\frac{x}{2}$＜m+0.5
  m+0.5＜$\frac{x+1}{2}$＜m+1
∴[$\frac{x}{2}$]=m，[$\frac{x+1}{2}$]=m
∴此時恒有y=0
④當2m+1＜x＜2m+2時，
  2m+2＜x+1＜2m+3
∴m+0.5＜$\frac{x}{2}$＜m+1
  m+1＜$\frac{x+1}{2}$＜m+1.5
∴此時[$\frac{x}{2}$]=m，[$\frac{x+1}{2}$]=m+1
∴此時恒有y=1．
綜上可知，y∈{0，1}．
故答案為{0，1}．

點評 此題是新定義一個函數，根據所給的規則求函數的值域，求解的關鍵是理解所給的定義，一般從函數的解析式入手，要找出準確的切入點，理解[x]表示數x的整數部分，考察了分析理解，判斷推理的能力及分類討論的思想